Question

若2sin²α+sin²β-2sinα=0，则cos²α+cos²β的取值范围是（A[1，5]，B[1，2]，C ，D[-1，2]）（ ）
A．A、
B．B、
C．C、
D．D、

Answer

根据已知等式，得到sin2β=-2sin2α+2sinα≥0，可以解出sinα的取值范围是[0，1]，并且cos2β=1-sin2β=2sin2α-2sinα+1，结合cos2α=1-sin2α，代入cos2α+cos2β得关于sinα的二次函数：y═（sinα-1）2+1，其中sinα∈[0，1]，由此不难求出cos2α+cos2β的取值范围．
【解析】
∵2sin2α+sin2β-2sinα=0，
∴sin2β=-2sin2α+2sinα≥0，
可得0≤sinα≤1，cos2β=1-sin2β=2sin2α-2sinα+1
∴cos2α+cos2β=（1-sin2α）+（2sin2α-2sinα+1）
=2-2sinα+sin2α=（sinα-1）2+1．
∵0≤sinα≤1，
∴当sinα=0时，cos2α+cos2β有最大值为2，
当sinα=1时，cos2α+cos2β有最小值1．
∴1≤cos2α+cos2β≤2．
故选B