Question

数列{a_n}中，a_n＞0，且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，满足a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N），则公比q的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

法1：由{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设此等比数列的公比为q，利用等比数列的通项公式表示出anan+1的通项，利用得到的通项化简已知的不等式，根据an＞0且q＞0，得到a1a2＞0，在不等式左右两边同时除以a1a2，得出关于公比q的不等式，求出不等式的解集即可得到q的取值范围；
法2：把n=1代入已知的不等式，得到a1a2+a2a3＞a3a4，由{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设此等比数列的公比为q，利用等比数列性质化简后，根据a1a2＞0，在不等式左右两边同时除以a1a2，得出关于公比q的不等式，求出不等式的解集即可得到q的取值范围．
【解析】
法1：∵{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，
∴设，
不等式可化为，
∵an＞0，q＞0，
∴q2-q-1＜0，
解得：；
法2：令n=1，不等式变为a1a2+a2a3＞a3a4，
∴，
∵a1a2＞0，∴1+q＞q2，
解得：，
故选B