Question

如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由．
（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明．

Answer

（1）先利用AD∥面EFGH⇒AD∥HG，同理EF∥FG⇒四边形EFGH是平行四边形．再利用AD⊥BC⇒HG⊥EH⇒四边形EFGH是矩形．
（2）作CP⊥AD于P点，连接BP，再由AD⊥BC⇒AD⊥面BCP，证得HG⊥面BCP⇒平面PBC⊥平面EFGH．然后在Rt△APC中，求出AP即可．
【解析】
（1）∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH=HG，AD⊂面ACD
∴HG∥EF．（2分）
同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形（3分）
∵三棱锥A-BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，
∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形（5分）
（2）当AP=a时，平面PBC⊥平面EFGH．（7分）
证明如下：
作CP⊥AD于P点，连接BP，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥面BCP（10分）
∵HG∥AD，
∴HG⊥面BCP，HG⊂面EFGH⇒面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a，
∴AP=a（12分）