Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）若函数f（x）在区间[-1，0]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值；
（2）若函数f（x）的三个零点分别为，求证：a²=2b+3．

Answer

（1）由函数在区间[-1，0]上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（-1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值；
（2）f（1）=0得到a、b、c的关系式，利用关系式化简f（x），因为函数f（x）的三个零点分别为，所以方程的两根为，利用根与系数的关系化简可得证．
【解析】
（1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要即可，也即
，而a2+b2可视为平面区域
内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式d2==，
∴a2+b2的最小值为．
（2）由f（1）=0，得c=-a-b-1，
∴f（x）=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a+1）x+（a+b+1）]
因为函数f（x）的三个零点分别为，
∴方程x2+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是，，
∴+=-（a+1），=a+b+1．
=（a+1）2即1-t+2+1+t=（a+1）2
∴2+2（a+b+1）=（a+1）2
∴a2=2b+3