Question

AB是过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的一条弦，且|AF|=1，，求抛物线及直线AB方程．

Answer

设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|求得x1+x2的表达式，表示出|AF|•|BF|建立等式求得p，则抛物线方程可得．再由，得 ，从而利用特殊角的三角函数求出直线AB的斜率，由点斜式方程写出AB方程．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 ，，…（2分）
则，
∴，…（4分）
而若设过焦点（，0）的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程为：y=k（x-）
又因为A，B两点是直线AB与抛物线的交点，则
 ，⇒x2-（+p）x+=0
∴，
由．
得 ，…（6分）
即，
∴，
抛物线方程为y2=x．…（8分）
设直线AB的倾斜角为θ，
又根据两点间的距离公式得：|AB|2=（y2-y1）2+（x2-x1）2=（tan2θ+1）（x2-x1）2
由于直线AB过点（，0），设直线AB为y=tanθ（x-），
联立得到：tan2θx2-（tan2θ+2）px+p2tan2θ=0
那么（x2-x1）2
=（x2+x1）2-4x1x 2
=（×p）2-4×
=4p2（tan2θ+1）×
那么|AB|2=（tan2θ+1）（x2-x1）2
=（tan2θ+1）×4p2（tan2θ+1）×
=．
∴，
由，得 ，
∴，∴θ=60或120，
得 ，
所以AB方程为 ．…（12分）