Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，，D是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer

先根据条件得到BC⊥平面ACC1A1．建立空间直角坐标系，求出各对应点的坐标，
（Ⅰ）求出向量A1D，B1C1，AB1的坐标，只要证得其数量积为0即可得到结论．
（Ⅱ）先求出两个平面的法向量，再代入夹角计算公式即可求出结论．
【解析】
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1．
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1．                         …（2分）
以C为坐标原点，CB、CC1、CA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（1，0，0），，，，，．                                                     …（4分）
（Ⅰ），，，
∵=0，=0，
∴，，即A1D⊥B1C1，A1D⊥AB1．
∵B1C1∩AB1=B1，∴A1D⊥平面AB1C1．                             …（7分）
（Ⅱ）设n=（x，y，z）是平面ABB1的法向量，由得
取z=1，则是平面ABB1的一个法向量．                   …（10分）
又是平面AB1C1的一个法向量，…（12分）
且与二面角B-AB1-C1的大小相等．
由cos＜，＞==-．
故二面角B-AB1-C1的余弦值为．                               …（14分）