Question

已知曲线C：y=e^x（其中e为自然对数的底数）在点P（1，e）处的切线与x轴交于点Q₁，过点Q₁作x轴的垂线交曲线C于点P₁，曲线C在点P₁处的切线与x轴交于点Q₂，过点Q₂作x轴的垂线交曲线C于点P₂，…，依次下去得到一系列点P₁、P₂…、P_n，设点P_n的坐标为（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）分别求x_n与y_n的表达式；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求．

Answer

（I）利用导数的几何意义，求曲线C：y=ex在点P（1，e）处的切线方程，依题意即可得P1的坐标为（0，1），同样可求曲线C：y=ex在点Pn（xn，yn）处的切线方程，从而得点Qn+1的横坐标为xn+1=xn-1．数列{xn}是以0为首项，-1为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得xn的表达式，进而得yn的表达式；（II）先求出{|OPn|2}的通项公式，再利用拆项求和和等比数列的前n项和公式求和即可
【解析】
（Ⅰ）∵y′=ex，
∴曲线C：y=ex在点P（1，e）处的切线方程为y-e=e（x-1），即y=ex．
此切线与x轴的交点Q1的坐标为（0，0），
∴点P1的坐标为（0，1）．    
∵点Pn的坐标为（xn，yn）（n∈N*）．
∴曲线C：y=ex在点Pn（xn，yn）处的切线方程为y-=（x-xn）
令y=0，得点Qn+1的横坐标为xn+1=xn-1．
∴数列{xn}是以0为首项，-1为公差的等差数列．
∴xn=1-n，yn=e1-n（n∈N*）．                  
（Ⅱ）∵|OPi|2==（i-1）2+e2（1-i）
∴=|OP1|2+|OP2|2+|OP3|2+…+|OPn|2
=（02+e）+（12+e-2）+=（22+e-4）+…+（n-1）2+e2（1-n）
=[12+22+…+（n-1）2]+[1+e-2+e-4+…+e2（1-n）]
=+
=+