Question

一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据三角形满足的两个条件，设出三边长分别为n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由n-1，n+1，sinα，以及sin2α，利用正弦定理列出关系式，根据二倍角的正弦函数公式化简后，表示出cosα，然后利用余弦定理得到（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n-1）n•cosα，将表示出的cosα代入，整理后得到关于n的方程，求出方程的解得到n的值，将n的值代入表示出的cosα中，即可求出这个三角形最小角的余弦值．
【解析】
设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，
由正弦定理可得：=，
∴cosα=，
再由余弦定理可得：（n-1）2=（n+1）2+n2-2（n+1）n•cosα=（n+1）2+n2-2（n+1）n•，
化简可得：n2-5n=0，解得：n=5或n=0（舍去），
∴n=5，
则cosα===．
故选B