Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁，试证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）由已知可得BC⊥AC，BC⊥CC1，从而可证BC⊥平面ACC1A1，则BC⊥A1C；容易证明四边形ACC1A1为正方形，即证A1C⊥AC1，由线面垂直的判定定理可证
（Ⅱ）要使DE∥平面AB1C1，则根据面面平行的性质定理，只要证明平面EFD∥平面AB1C1，即证EF∥平面AB1C1，FD∥平面AB1C1，从而考虑，当点E为棱AB的中点时，取BB1的中点F，可证明
证明：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1．
∵AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1．
∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1C
∵BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C．                                   …（4分）
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴．
∵，∴四边形ACC1A1为正方形．
∴A1C⊥AC1．                                                   …（6分）
∵B1C1∩AC1=C1，
∴A1C⊥平面AB1C1．                         …（7分）
（Ⅱ）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1   …（9分）
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连EF、FD、DE，
∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，
∴EF∥AB1．
∵AB1⊆平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1
∴EF∥平面AB1C1．     …（12分）
同理可证FD∥平面AB1C1．
∵EF∩FD=F，
∴平面EFD∥平面AB1C1
∵DE⊂平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1．         …（14分）