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已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为...

已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
充分性:当q=-1时,a1=S1=p+q=p-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当n=1时也成立.于是数列{an}为等比数列;必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).由p≠0,p≠1.知==p.故q=-1.由此得到q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件. 证明:充分性:当q=-1时,a1=S1=p+q=p-1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). 当n=1时也成立. 于是==p(n∈N+), 即数列{an}为等比数列. 必要性:当n=1时,a1=S1=p+q. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1). ∵p≠0,p≠1. ∴==p. ∵{an}为等比数列, ∴==p,=p, 即p-1=p+q.∴q=-1. 综上所述,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.
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考点分析:
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