Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=-1．

Answer

充分性：当q=-1时，a1=S1=p+q=p-1．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．当n=1时也成立．于是数列{an}为等比数列；必要性：当n=1时，a1=S1=p+q．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．由p≠0，p≠1．知==p．故q=-1．由此得到q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件．
证明：充分性：当q=-1时，a1=S1=p+q=p-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．
当n=1时也成立．
于是==p（n∈N+），
即数列{an}为等比数列．
必要性：当n=1时，a1=S1=p+q．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴==p．
∵{an}为等比数列，
∴==p，=p，
即p-1=p+q．∴q=-1．
综上所述，q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件．