Question

如图，己知椭圆长轴|A₁A₂|=6．焦距．过椭圆焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M，N．
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求|MN|的长．

Answer

（1）由己知条件知，a=3，c=2，焦点x轴（由图可知），从而可求椭圆的方程；
（2）由MN所在直线方程y=x+2与椭圆的方程为联立，用韦达定理结合弦长公式|MN|=•|x1-x2|即可求得|MN|的长．
【解析】
（1）由己知条件知，，
∴b2=a2-c2=1，由图可知，其焦点在x轴，
∴椭圆的方程为．     （4分）
（2）∵F1（-2，0），∠F2F1M=，
∴MN所在直线方程为，
联立方程组得：消去y得，（6分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1，x2是方程10x2+36x+63=0的两根，
∴x1+x2=-，
∴x1•x2=，（8分）
∴|MN|=•|x1-x2|（10分）
=•
=•
=•=．
∴．    （12分）