Question

已知函数的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

Answer

（1）由=，1≤m≤x＜n≤2，知，x2-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，x+，令f′（x）=0，得x=，由此能求出函数f（x）的单调性．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值为f（）=2，最大值为f（m）=，对任意x1，x2∈[m，n]，|f（x1）-f（x2）|≤=，由此能够证明对任意x1、x2∈[m，n]，不等式|f（x1）-f（x2）|＜1．
【解析】
（1）
=，
∴
=
=，
∵1≤m≤x＜n≤2，
∴，
x2-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，
x+，
令f′（x）=0，得x=，
当x∈时，f′（x）＞0，
当时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[m，]内，单调递减；
在[]内，单调递增．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值为f（）=2，
最大值为f（m）=，
对任意x1，x2∈[m，n]，
|f（x1）-f（x2）|≤
=，
令，h（μ）=μ4-4μ2+4μ-1，
∵1≤m＜n≤2，
∴，
即，
∵h（μ）=4μ3-8μ+4
=＞0，
∴h（μ）在（1，）上是增函数，
∴h（μ）=4-8+4
=＜1，
∴对任意x1、x2∈[m，n]，不等式|f（x1）-f（x2）|＜1．