Question

某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x分，“居民素质”得分为y分，统计结果如下表：

y 社区数量 x		居民素质
		1分	2分	3分	4分	5分
社 区 服 务	1分	1	3	1		1
	2分	1		7	5	1
	3分	2	1		9	3
	4分	a	b	6		1
	5分			1	1	3

（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即x≥3且y≥3）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；
（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y的均值（即数学期望）为，求a、b的值．

Answer

（1）从表中可以看出居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分的社区数量为24个，利用古典概型的概率根式求出概率．
（2）求出y可取得的值，利用古典概型的概率公式求出y取每一个值的概率，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望，列出方程求出a，b的值．
【解析】
（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分的社区数量为24个．…（2分）
设这个社区能进入第二轮评比为事件A，则P（A）=．
所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．…（4分）
（2）由表可知“居民素质”得分y有1分、2分、3分、4分、5分，
其对应的社区个数分别为a+4个、b+4个、15个、15个、9个．…（6分）
所以P（y=1）=，P（y=2）=，P（y=3）=；   P（y=4）=；  P（y=5）=
所以“居民素质”得分y的分布列为：

y 1 2 3 4 5
p

…（8分）
因为“居民素质”得分y的均值为，
所以．…（10分）
即a+2b=5．
因为社区总数为50个，所以a+b+47=50．
解得a=1，b=2．…（12分）