Question

已知函数（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；
（3）若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求当a=3时函数的导数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间；
（2）方法1：由，得f'（x）=-x2+ax-2，原问题转化为：对于任意x∈[1，+∞）都有x2-ax+2a＞0成立，令h（x）=x2-ax+2a，结合二次函数的性质得到关于a的不等关系，从而求出实数a的取值范围；
方法2：由，得f'（x）=-x2+ax-2，问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]max＜2（a-1）．下面利用导数工具研究其单调性和最大值，即可得出实数a的取值范围；
（3）先将过点可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程有三个不同的实数解，下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得a的范围．
【解析】
（1）当a=3时，，得f'（x）=-x2+3x-2．…（1分）
因为f'（x）=-x2+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由，得f'（x）=-x2+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有-x2+ax-2＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有x2-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x2-ax+2a，
要使对任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必须满足△＜0或…（5分）
即a2-8a＜0或…（6分）
所以实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
方法2：由，得f'（x）=-x2+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
所以问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]max＜2（a-1）．…（4分）
因为，其图象开口向下，对称轴为．
①当时，即a＜2时，f'（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f'（x）max=f'（1）=a-3，
由a-3＜2（a-1），得a＞-1，此时-1＜a＜2．…（5分）
②当时，即a≥2时，f'（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得0＜a＜8，此时2≤a＜8．…（6分）
综上①②可得，实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
（3）设点是函数y=f（x）图象上的切点，
则过点P的切线的斜率为k=f'（t）=-t2+at-2，…（8分）
所以过点P的切线方程为．…（9分）
因为点在切线上，
所以，
即．…（10分）
若过点可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程有三个不同的实数解．…（11分）
令，则函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点．
令g'（t）=2t2-at=0，解得t=0或．…（12分）
因为，，
所以必须，即a＞2．…（13分）
所以实数a的取值范围为（2，+∞）．…（14分）