Question

是否存在a、b、c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）．

Answer

首先假设存在a、b、c使题设的等式成立，令n=1，2，3，可求得a、b、c的值，令Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
用数学归纳法予以证明即可．
【解析】
假设存在a、b、c使题设的等式成立，
这时令n=1，2，3，有解得：．
于是，对n=1，2，3下面等式成立
1•22+2•32+…+n（n+1）2=
记Sn=1•22+2•32+…+n（n+1）2
证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，
②设n=k时上式成立，即Sk=（3k2+11k+10）
那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2
=（3k2+5k+12k+24）
=[3（k+1）2+11（k+1）+10]
也就是说，等式对n=k+1也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．