Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足
（ⅰ）对任意x、y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（）
（ⅱ）当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，试研究f（）+f（）+…+f（）与f（）的关系．

Answer

在（ⅰ）中，用特殊值法，令x=y=0，x=-y，可得f（x）为奇函数，结合（ii），分析可得当x∈（0，1）时，f（x）＜0；进而将f（）+f（）+…+f（）变形为[f（）-f（）]+[f（）-f（）]+…+[f（）-f（）]，化简可得其等于f（）-f（），由的范围，可得f（）＜0；即可得答案．
【解析】
在（ⅰ）中，令x=y=0，可得到f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0，
令x=-y，可得f（x）+f（-x）=f（0），
则f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数；
又由（ii），当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，
当x∈（0，1）时，则-x∈（-1，0）
f（x）=-f（-x）＜0，
即当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
f（）=f（）+f（-）=f（）-f（）
则f（）+f（）+…+f（）=[f（）-f（）]+[f（）-f（）]+…+[f（）-f（）]
=f（）-f（）；
∵0＜＜1，
∴f（）＜0；
则f（）-f（）＞f（），
故f（）+f（）+…+f（）＞f（）．