Question

已知f（x）=x³+mx²-x+2（m∈R）．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为（-，1），求函数f（x）的解析式；
（2）（理）若f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求实数m的取值范围．
（文）若f（x）的导函数为f′（x），对任意的x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2（1-m）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）求导函数，令f′（x）＜0，利用函数f（x）的单调递减区间为（-，1），得到3x2+2mx-1=0的两根分别是-，1，代入即可求出m，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）（理）对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，等价于即m≥lnx-x在x∈（0，+∞）时恒成立，求出右边对应函数的最大值，即可得到m的范围．
（文）3x2+2mx-1≥2（1-m）在x∈（0，+∞）时恒成立，等价于m≥（1-x）在x∈（0，+∞）时恒成立，求出右边对应函数的最大值，即可得到m的范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2mx-1．
由题意f′（x）=3x2+2mx-1＜0的解集是（-，1），
即3x2+2mx-1=0的两根分别是-，1．
将x=1或x=-代入方程3x2+2mx-1=0得m=-1．
∴f（x）=x3-x2-x+2．
（2）（理）由题意知3x2+2mx-1≥2xlnx-1在x∈（0，+∞）时恒成立，即m≥lnx-x在x∈（0，+∞）时恒成立．
设h（x）=lnx-，则h′（x）=-．
令h′（x）=0，得x=．
令h′（x）＞0，则0＜x＜，；令h′（x）＜0，则x＞，
∴当x=时，h（x）取得最大值，h（x）max=ln-1=ln2-ln3e，
所以m≥ln2-ln3e．
因此m的取值范围是[ln2-ln3e，+∞）．
（文）由题意知3x2+2mx-1≥2（1-m）在x∈（0，+∞）时恒成立，即2mx+2m≥3-3x2，
所以2m（x+1）≥3（1-x2）．
由于x∈（0，+∞），于是2m≥3（1-x），得m≥（1-x）．
而（1-x）＜，所以m的取值范围为[，+∞）．