Question

某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200m²，高度一定的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不能超过16m，如果池的外壁的建造费单价为400元/m，池中两道隔墙的建造费单价为248元/m，池底的建造费单价为80元/m²，试设计水池的长x和宽y（x＞y），使总造价最低，并求出这个最低造价．

Answer

设水池的长为x，则宽为，求出池外的造价；求出中间两条隔墙的造价；求出池底的造价；将三个造价加起来即为总造价；据长、宽都大于0小于等于16求出定义域．求出导函数，判断导函数在定义域上的符号，判断出函数的单调性，利用单调性求出函数的最值．
【解析】
设污水池长为x m，则宽为 m，设总价为Q（x），
则Q（x）=400（2x+2×）+248×2×+80×200=800（x+）+16000
由题设条件∴12.5≤x≤16，即函数定义域为[12.5，16]
求导函数得：
当x∈[12.5，16]时，y'＜0；
故函数y=f（x）在[12.5，16]上是减函数．（10分）
∴当x=16时，y取得最小值，
此时，
综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元．