Question

已知函数f（x）=2x²+mx-1，集合A={x|log₂（x+2）≥log₂（x²+x+1）}，B={x|32x⁸-1≤1}．
（1）设f（x）≤0的解集为C，若C⊆（A∪B），求m的取值范围；
（2）当m∈A，x∈B时，求证：|f（x）|≤．

Answer

（1）由题意先化简集合A，B，再根据C⊆（A∪B），得到不等式2x2+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．利用二次方程根的方布得出关于m的不等关系，从而求出m的取值范围；
（2）利用绝对值不等式的性质得出|f（x）|=|2x2-1+mx|≤|2x2-1|+|mx|≤-（2x2-1）+|x|再结合二次函数的性质即可得到证明．
【解析】
由题意log2（x+2）≥log2（x2+x+1），
得x+2≥x2+x+1＞0，
解得-1≤x≤1；
由32x8-1≤1得x2≤
解得-≤x≤．
∴A=[-1，1]，B=[-，]，
∴A∪B=[-1，1]．
（1）∵C={x|2x2+mx-1≤0}且C⊆（A∪B），
∴不等式2x2+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．
∵△=m2+8＞0，
∴只要即可，解得-1≤m≤1．
∴m的取值范围为[-1，1]．
（2）∵m∈A，x∈B，∴|m|≤1，x2≤．
∴|f（x）|=|2x2-1+mx|≤|2x2-1|+|mx|
≤-（2x2-1）+|x|
=-2（|x|-）2+≤．