Question

某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床位每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出；当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲． 为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）：
（1）把y表示成x的函数；
（2）试确定，该宾馆将床价定为多少元时，既符合上面的两个条件，又能使净收入高？

Answer

（1）当床价不超过10元时，床位全部租出，该宾馆一天出租床位的净收入为100x-575，由于床位出租的收入必须高于支出且x为整数，得到6≤x≤10且x∈N+；当床价超过10元时，该宾馆一天出租床位的净收入为[100-3（x-10）]x-575，化简可得，此时的11≤x≤38；
（2）分两段求函数的最大值，当6≤x≤10，当x=10时，ymax=425；当11≤x≤38且x∈N*时，根据二次函数求最大值的方法求出即可，然后判断去最大．
【解析】
（1）
（2）当6≤x≤10且x∈N*时，y=100x-575，
所以当x=10时，ymax=425；
当11≤x≤38且x∈N*时，y=-3x2+130x-575=-3（x-65/3）2+2500/3，
所以当x=22时，ymax=833；
综上，当x=22时，ymax=833．
答：该宾馆将床价定为22元时，净收入最高为833元．