Question

设函数，其图象在点A（1，f（1）），B（m，f（m））处的切线的斜率分别为0，-a．
（1）求证：；
（2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围．

Answer

（1）求导函数f′（x）=ax2+2bx+c，依题意有f′（1）=a+2b+c=0，f'（m）=am2+2bm+c=-a，结合a＜b＜c，即可得，将c=-a-2b代入f′（m）=am2+2bm+c=-a得am2+2bm-2b=0，即方程ax2+2bx-2b=0有实根，故其判别式△=4b2+8ab≥0，从而可得或，故问题得证；
（2）由于f'（x）=ax2+2bx+c的判别式△′=4b2-4ac＞0，所以方程a2+2bx+c=0有两个不相等的实数根，设为x1，x2，
由于f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一个根，记x1=1，利用根与系数的关系，可知函数f（x）的单调递增区间为[x2，1]，从而[x2，1]=[s，t]，进而可得，利用，可求|s-t|的范围．
（1）证明：因为f′（x）=ax2+2bx+c…（1分）
于是依题意有f′（1）=a+2b+c=0，①…（1分）
f′（m）=am2+2bm+c=-a，②…（1分）
又由a＜b＜c，可得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0，
由①得c=-a-2b，
∵a＜b＜c，a＜0
∴③…（2分）
将c=-a-2b代入②得am2+2bm-2b=0，即方程ax2+2bx-2b=0有实根，故其判别式△=4b2+8ab≥0，
由此可得，
解得或④…（2分）
由③、④即可得； …（1分）
（2）【解析】
由于f′（x）=ax2+2bx+c的判别式△′=4b2-4ac＞0，…（1分）
所以方程a2+2bx+c=0（*）有两个不相等的实数根，设为x1，x2，
又由f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一个根，记x1=1，…（1分）
则由根与系数的关系得，即，
当x＜x2或x＞1时，f'（x）＞0；当x2＜x＜1时，f'（x）＞0，…（1分）
所以函数f（x）的单调递增区间为[x2，1]
由题设[x2，1]=[s，t]，…（1分）
因此，
由（1）知，所以|s-t|∈[2，4）．…（1分）