Question

已知函数f（x）=）
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记S_n（x）=（x）．

Answer

（1）根据an+1=f（an）（n∈N*，等式两边同取倒数，变形可得=3，满足等差数列的定义，可得结论；
（2）先根据（1）求出an，然后讨论当x=1，求出Sn（x），当x≠1，0时，可利用错位相消法进行求和，当x=0时，Sn（0）=0也适合，即可求出所求．
【解析】
（1）由已知得：an+1=
∴=3
∴是首项为1，公差d=3的等差数列
（2）由（1）得=1+（n-1）3=3n-2
∴Sn（x）=x+4x2+7x3+…+（3n-5）xn-1+（3n-2）xn
当x=1，Sn（1）=1+4+7+…+（3n-2）=
当x≠1，0时，Sn（x）=x+4x2+7x3+…+（3n-5）xn-1+（3n-2）xn
xSn（x）=x2+4x3+7x4+…+（3n-5）xn+（3n-2）xn+1
（1-x）Sn（x）=x+（3x2+3x3+…+3xn）-（3n-2）xn+1
=
∴=
=
=
当x=0时，Sn（0）=0也适合．
综上所述，
x≠1，Sn（x）=．