Question

已知数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=，n∈N^*．
（1）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论；
（2）证明：|x_n+1-x_n|≤（）^n-1．
（文）已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer

（理）（1）由x1=及xn+1=，得x2=，x4=，x6=．由x2＞x4＞x6猜想，数列{x2n}是递减数列．可以用数学归纳法进行证明．
（2）当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=，结论成立；当n≥2时，0＜xn-1＜1，故1+xn-1＜2，xn=＞，由此能够证明|xn+1-xn|≤（）n-1．
（文）（1）b1=a2-a1=1，当n≥2时，bn=an+1-an=-an=-（an-an-1）=-bn-1，故{bn}是以1为首项，-为公比的等比数列．
（2）由bn=an+1-an=（-）n-1，知当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+1+（-）+…+（-）n-2=1+=1+[1-（-）n-1]=-（-）n-1，由此能够求出{an}的通项公式．
【解析】
（理）（1）由x1=及xn+1=
得x2=，x4=，x6=．
由x2＞x4＞x6猜想，数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即x2k＞x2k+2，
易知xn＞0，那么x2k+2-x2k+4=
=
=＞0，
即x2（k+1）＞x2（k+1）+2，
也就是说，当n=k+1时命题也成立．结合①和②知，命题成立．
（2）当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=，结论成立；
当n≥2时，易知0＜xn-1＜1，
∴1+xn-1＜2，xn=＞，
∴（1+xn）（1+xn-1）
=（1+）（1+xn-1）
=2+xn-1≥，
∴|xn+1-xn|=||
=
≤|xn-xn-1|
≤（）2|xn-1-xn-2|
≤…≤（）n-1|x2-x1|=（）n-1．
（文）（1）b1=a2-a1=1，
当n≥2时，bn=an+1-an=-an=-（an-an-1）=-bn-1，
∴{bn}是以1为首项，-为公比的等比数列．
（2）由（1）知bn=an+1-an=（-）n-1，
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+1+（-）+…+（-）n-2
=1+
=1+[1-（-）n-1]=-（-）n-1，
当n=1时，-（-）1-1=1=a1．
∴an=-（-）n-1（n∈N*）．