Question

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使，则椭圆离心率的范围是    ．

Answer

利用两个向量的数量积公式得到（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，e2=，得到＜e2＜1，
从而求得离心率的范围．
【解析】
设椭圆的方程为 ，设 A （a，0），点P（acost，bsint）．
 由题意得，=0，∴（-acost，-bsint）•（a-acost，-bsint）=0，
∴（-acost ）•（a-acost ）+b2sin2t=0，化简可得 c2cos2t-a2cost+a2-c2=0，
∴e2cos2t-cost+1-e2=0，∴e2=．
又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴＜e2＜1，∴＜e＜1，
故答案为＜＜1．