如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满...

如图所示，已知P（4，0）是圆x²+y²=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

设AB的中点为R，设R的坐标为（x1，y1），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2 =36-（），再由|AR|=|PR|=，由此得到点R的轨迹方程 -4x1-10=0①，设Q（x，y），因为R是PQ的中点，可得x1=，代入①化简即得所求．【解析】设AB的中点为R，则R也是PQ的中点，设R的坐标为（x1，y1），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）．又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（），即 -4x1-10=0．因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．设Q（x，y），因为R是PQ的中点，所以x1=，代入方程 -4x1-10=0，得-10=0，整理得：x2+y2=56，这就是所求的Q点的轨迹方程．

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考点分析：

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已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．