Question

设函数y=x³-3ax²-24a²x+b有正的极大值和负的极小值，其差为4，
（1）求实数a的值；
（2）求b的取值范围．

Answer

（1）求导函数f'（x）=3x2-6ax-24a2，令f'（x）=0得x2-2ax-8a2=0，所以x1=4a，x2=-2a，利用极大值和极小值的差为4，可得|b-80a3-（b+28a3）|=4，从而可求求实数a的值；
（2）分类讨论：当时，f（-2a）＞0，f（4a）＜0；当时，f（-2a）＜0，f（4a）＞0，从而可求b的取值范围．
【解析】
（1）f'（x）=3x2-6ax-24a2
令f'（x）=0得x2-2ax-8a2=0
∴x1=4a，x2=-2a（2分）
∵f（4a）=b-80a3，f（-2a）=b+28a3，
∴|b-80a3-（b+28a3）|=4（4分）
∴（6分）
（2）当时，

x （-∞，-2a） -2a （-2a，4a） 4a （4a，+∞）
f（x） + - +

得：f（-2a）＞0，f（4a）＜0，
∴（8分）
又得：（9分）
同理当时，

x （-∞，-4a） 4a （4a，-2a） -2a （-2a，+∞）
f（x） + - +

得：f（-2a）＜0，f（4a）＞0，
∴
又得，（12分）
∴当得：；时，得（14分）（结论2分）