Question

设动点P（x，y）（x≥0）到定点的距离比它到y轴的距离大，记点P的轨迹为曲线C，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设圆M过A（1，0），且圆心M在P的轨迹上，EF是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长|EF|是否为定值？请说明理由．

Answer

（1）利用两点间的距离公式根据P到F的距离比它到y轴的距离大，求出点P的轨迹方程即可；
（2）设圆心M（a，b），因为圆M过A（1，0），所以圆的半径为，写出圆的方程，令x=0得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出弦长为定值．
【解析】
（1）依题意，P到距离比P到y轴的距离大，即=x+，化简得：y2=2x，
所以曲线C是以原点为顶点，为焦点的抛物线P=1曲线C方程是y2=2x；
（2）设圆心M（a，b），因为圆M过A（1，0），
故设圆的方程（x-a）2+（y-b）2=（a-1）2+b2令x=0得：y2-2by+2a-1=0，
设圆与y轴的两交点为（0，y1），（0，y2），
则y1+y2=2b，y1•y2=2a-1（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1•y2=（2b）2-4（2a-1）=4b2-8a+4，
M（a，b）在抛物线y2=2x上，b2=2a（y1-y2）2=4|y1-y2|=2，
所以，当M运动时，弦长|EF|为定值2．