Question

已知函数f（x）=x²+x及两个正整数数列{a_n}，{b_n}若a₁=3，a_n+1=f'（a_n）对任意n∈N^*恒成立，且b₁=1，b₂=λ，且当n≥2时，有；又数列{c_n}满足：2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）证明存在k∈N^*，使得对任意n∈N^*均成立．

Answer

（1）根据，{bn}是正整数列，可知，利用b1=1，b2=λ，可得因为f（x）=x2+x，所以f'（x）=2x+1，根据an+1=f'（an），可得an+1=2an+1，从而可知数列{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列，故可求数列{an}}的通项公式；
（2）由2（λbn+cn-1）=2nλbn+an-1得：，从而可得，设，当λ≠1时，利用错位相减法可求和；当λ=1时，．这时数列{an}的前n项和；
（3）通过分析，推测数列的第一项最大，证明，即可知存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．
（1）【解析】
由．
因为{bn}是正整数列，所以．
于是{bn}是等比数列，
又b1=1，b2=λ，所以（2分）
因为f（x）=x2+x，所以f'（x）=2x+1，
∵an+1=f'（an）
∴an+1=2an+1
∴an+1+1=2（an+1）
∵a1=3，
∴数列{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+1=4×2n-1=2n+1
∴（5分）
（2）【解析】
由2（λbn+cn-1）=2nλbn+an-1得：．
由及得：（6分）
设①
②
当λ≠1时，①式减去②式，得
于是，（8分）
这时数列{an}的前n项和（9分）
当λ=1时，．这时数列{an}的前n项和（10分）
（3）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，
下面证明：，n≥2③（11分）
由λ＞0知cn＞0要使③式成立，只要，
因为=4（n-1）λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2cn+1，n≥2． 所以③式成立．
因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．（14分）