Question

已知定点F（1，0）和定直线x=-1，M，N是定直线x=-1上的两个动点且满足，动点P满足∥，∥（其中O为坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l与C相交于A，B两点
①求的值；
②设，当三角形OAB的面积时，求λ的取值范围．

Answer

（1）可设P（x，y），M（-1，y1），N（-1，y2）（y1，y2均不为0），利用向量的坐标运算，结合条件满足，动点P满足∥，∥即可求得动点P的轨迹C的方程；
（2）将C的方程y2=4x（x≠0）与直线l的方程x=my+1联立消掉y，利用韦达定理可求得①的值；
解法一：利用，求得，从而得三角形OAB的面积S=，由S∈[2，]即可求得λ的取值范围；
解法二：利用，可求得-y3=λy4，而y3y4=-4，从而，一下同解法一．
【解析】
（1）设P（x，y），M（-1，y1），N（-1，y2）（y1，y2均不为0），
由∥得y1=y，即M（-1，y）（2分）
由∥得，即（2分）
∵
∴，
∴y2=4x（x≠0）
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）（6分）
（2）①由（1）得P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0），F（1，0），
设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x得y2-4my-4=0．（8分）
设A，B的坐标分别为（x3，y3），（x4，y4），则y3y4=-4．
∴，（9分）
故．（10分）
②解法一：∵，
∴（1-x3，-y3）=λ（x4-1，y4），即
又，．
∴可得．（11分）
故三角形OAB的面积，（12分）
因为恒成立，所以只要解．
即可解得．（14分）
解法二：∵，
∴（1-x3，-y3）=λ（x4-1，y4），
∴-y3=λy4，
∴|y3|=λ|y4|（注意到λ＞0）
又由①有y3y4=-4，
∴，
∴
三角形OAB的面积（以下解法同解法一）