Question

已知函数f（x）=（x＞0）
（1）当x₁＞0，x₂＞0且f（x₁）•f（x₂）=1时，求证：x₁•x₂≥3+2
（2）若数列{a_n}满足a₁=1a_n＞0a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）由x1＞0，x2＞0，f（x1）•f（x2）=1，知=1，故≥=（2+1）2．故，由此能够证明x1•x2≥3+2．
（2）法一：由a1=1，an＞0，，知==，故=，由此能够求出数列{an}的通项公式．
解法二：由a1=1，an＞0，，知==，故=2，由此能够求出数列{an}的通项公式．
（1）证明：∵x1＞0，x2＞0，f（x1）•f（x2）=1，
∴=1，…（2分）
∴
=4x1x2+2（x1+x2）+1
≥
=（2+1）2．…（4分）
∴，
∴，
∴，或（舍去）．
∴，
∴．…（6分）
（2）解法一：∵a1=1，an＞0，，
∴==，
∴=．…（8分）
∴=．…（10分）
∴数列是首项为lg（）=lg2，公比为2的等比数列．
∴．…（12分）
∴，
∴．…（14分）
解法二：∵a1=1，an＞0，，
∴===，…（8分）
∴==2．…（10分）
∴数列是首项为lg，公比为2的等比数列．
∴=，…（12分）
∴，
∴．…（14分）