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如图所示:图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象,图2是函数g(x)=lo...

manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网如图所示:图1是定义在R上的二次函数f(x)的部分图象,图2是函数g(x)=loga(x+b)的部分图象.
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)如果函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,求m的取值范围.
(1)由题图1得,二次函数f(x)的顶点坐标可设函数的顶点式f(x)=a(x-1)2+2,又函数f(x)的图象过点(0,0),求出a,得f(x)的解析式.由题图2得,函数g(x)=loga(x+b)的图象过点(0,0)和(1,1),将点的坐标代入列出关于a,b的方程组,解得a,b.最后写出g(x)的解析式即可; (2)由(1)得y=g(f(x))=log2(-2x2+4x+1)是由y=log2t和t=-2x2+4x+1复合而成的函数,利用复合函数的单调性研究此函数的单调性,从而得出满足条件的m的取值范围. 【解析】 (1)由题图1得,二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2), 故可设函数f(x)=a(x-1)2+2,又函数f(x)的图象过点(0,0),故a=-2, 整理得f(x)=-2x2+4x. 由题图2得,函数g(x)=loga(x+b)的图象过点(0,0)和(1,1), 故有∴ ∴g(x)=log2(x+1)(x>-1). (2)由(1)得y=g(f(x))=log2(-2x2+4x+1)是由y=log2t和t=-2x2+4x+1复合而成的函数, 而y=log2t在定义域上单调递增, 要使函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减, 必须t=-2x2+4x+1在区间[1,m)上单调递减,且有t>0恒成立. 由t=0得x=,又t的图象的对称轴为x=1. 所以满足条件的m的取值范围为1<m<.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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