Question

已知关于x的方程9^x+m•3^x+6=0（其中m∈R）．
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程没有实数根，求实数m的取值范围．

Answer

（1）当m=-5时，方程即为9x-5•3x+6=0，利用换元法，令3x=t（t＞0），方程可转化为t2-5t+6=0，可求t进而可求x
（2）令3x=t（t＞0），方程可转化为t2+mt+6=0①，要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根，结合二次方程可求
【解析】
（1）当m=-5时，方程即为9x-5•3x+6=0，
令3x=t（t＞0），方程可转化为t2-5t+6=0，
解得t=2或t=3，
由3x=2得x=log32，由3x=3得x=1，
故原方程的解为1，log32．
（2）令3x=t（t＞0）．
方程可转化为t2+mt+6=0①
要使原方程没有实数根，应使方程①没有实数根，或者没有正实数根．
当方程①没有实数根时，需△=m2-24＜0，
解得-2＜m＜2；
当方程①没有正实数根时，方程有两个相等或不相等的负实数根，
这时应有，解得m≥2．
综上，实数m的取值范围为m＞-2．