Question

给出四个命题：①若直线a∥平面α，直线b⊥α，则a⊥b；②若直线a∥平面α，a⊥平面β，则α⊥β；③若a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ．其中不正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

正确的给出理由，错误的举出反例逐一判断即可．具体分析如下：
①根据线面平行的性质可得直线a∥平面α故可在平面α作直线a′∥a而直线b⊥α则根据线面垂直的定义可得b⊥a′故b⊥a
②根据①再结合面面垂直的判定定理可得α⊥β
③也存在当a⊂平面α且与b平行这种情况故③错
④也存在当平面α⊥平面β，平面γ⊥β也可能得出平面α∥平面β这种情况故④错．
【解析】
对于①由于直线a∥平面α故可在平面α作直线a′∥a而直线b⊥α则根据线面垂直的定义可得b⊥a′故b⊥a所以①对．
对于②由于直线a∥平面α故可在平面α作直线a′∥a而a⊥平面β故a′⊥平面β又a′⊆平面α故根据面面垂直的判定定理可得α⊥β故②对．
对于③由a∥b，且b⊂平面α并不能得出a∥α比如a⊂平面α且与b平行故③错．
对于④由平面α⊥平面β，平面γ⊥β也可能得出平面α∥平面β故④错．
所以③④错
故选B