Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，对于任意n≥2，3S_n-4，a_n，2-总成等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求通项a_n；
（Ⅲ）计算．

Answer

（Ⅰ）由题意可得2an=3Sn-，再由a1=1，令n=2可以求得a2=，同理，分别令n=3 和4，可求得a3，a4的值．
（Ⅱ）由题意可得，3Sn=an+4，故有3Sn+1=an+1+4，相减可得3an+1=an+1-an，即，即a2，a3，…an，…成等比数列，由此求得通项an ．
（Ⅲ）由题意可得，=1+，运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）∵当n≥2时，3Sn-4，an，2-总成等差数列，∴2an=3Sn--2．
再由a1=1，令n=2可得 2a2 =3s2--2，即 2an=3（1+a2 ）--2，解得 a2=．
令n=3 可得2a3=3S3--2，即 2a3=3（1++a3）--2，解得  a3=-．
同理，令n=4，可求得 a4=．
（Ⅱ）∵当n≥2时，3Sn-4，an，2-总成等差数列，即 2an=3Sn-4+2-，
即 2an+2=3sn-，∴2an+1+2=3sn+1-sn．
两式相减，得2an+1 -2an=3an+1-an，即，
∴a2，a3，…an，…成等比数列，故an=．
（Ⅲ）由于数列{an}当n≥2时构成等比数列，公比q=-，
故 =1+=1+=．