Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是面积为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别为CC₁、BB₁上的点，且BC=EC=2FB．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求平面AEF与平面ABCD所成角．

Answer

（I）由菱形的对角线互相垂直及直四棱柱的几何特征，结合线面垂直的判定定理易证BD⊥平面ACC1A，设AC∩BD=O，AE的中点为M，连OM，可证得FM∥BD，结合线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）由二面角的平面角的定义，可得∠EAC为所求二面角的平面角θ．解等腰直角三角形ACE，即得到平面AEF与平面ABCD所成角．
证明：（Ⅰ） BD⊥平面ACC1A     ①
设AC∩BD=O，AE的中点为M，连OM，则OM=EC=FB
∴FB∥CE∥OM
∴BOMF为平行四边形
∴FM∥BO即FM∥BD
由①，知面AEF⊥面ACC1A1
（Ⅱ）∵AC⊥BD，平面AEF∩平面ABCD=l，l过A且l∥BD
∴AC⊥l，又BD⊥平面ACC1A1
∴l⊥平面ACC1A1，
∴l⊥AE
∴∠EAC为所求二面角的平面角θ．
∵∠ABC=60°，
∴AC=BC=CE
由CC1⊥AC
故△ECA为Rt△，即△ECA为等腰直角三角形
故∠EAC=θ=45°