Question

以椭圆=1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形．

Answer

设直角三角形一腰所在直线为y=kx+1（k＞0），则另一腰所在直线方程为y=-x+1，分别代入椭圆方程，求得两腰的长，由两腰长相等得关于k的方程，讨论方程的根的个数即可得符合条件的三角形的个数
【解析】
因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1），内接直角三角形为△ABC，
则两腰所在直线的斜率一定存在且不为0，
设BC：y=kx+1（k＞0）
则AB：y=-x+1
把BC方程代入椭圆，
得（1+a2k2）x2+2a2kx=0
∴|BC|=，同理|AB|=
由|AB|=|BC|，得k3-a2k2+ka2-1=0
（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0
∴k=1或k2+（1-a2）k+1=0
当k2+（1-a2）k+1=0时，△=（a2-1）2-4
由△＜0，得1＜a＜
由△=0，得a=，此时，k=1
故当△≤0，即1＜a≤时，方程（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0有一解
当△＞0即a＞时，方程（k-1）[k2+（1-a2）k+1]=0有三解
即当1＜a≤时，符合条件的等腰直角三角形只有一个；
当a＞时，符合条件的等腰三角形可作三个