Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=BC=1，AA₁=2，点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BD₁；
（Ⅱ）求四面体D₁-BDE的体积．

Answer

（Ⅰ）先计算，，再利用F为BD1中点，可得EF⊥BD1；
（Ⅱ）转换底面，根据，只要求出，即可得到四面体D1-BDE的体积．
（Ⅰ）证明：∵AB=BC=1，AA1=2，点E为CC1中点，
∴，． …（2分）
∴EB=ED1．又F为BD1中点，
∴EF⊥BD1．                   …（4分）
（Ⅱ）【解析】
由于，…（6分）
又因为，而，BC=1，
∴．
故四面体D1-BDE的体积为．                      …（10分）