已知圆C：x2+y2-2x-4y-3=0，直线l：y=x+b．（1）若直线l与...

已知圆C：x²+y²-2x-4y-3=0，直线l：y=x+b．
（1）若直线l与圆C相切，求实数b的值
（2）是否存在直线l与圆C交于A、B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）；如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

（1）先将圆的方程化为标准形式，进而可得到圆心坐标和半径长度，再由圆心到直线l的距离等于半径求出b的值即可．（2）先设点A，B的坐标，根据OA⊥OB得到两点坐标之间的关系，然后联立直线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，再由韦达定理得到两根之和与两根之积后代入所求的关系式，即可求出b的值，从而可求得直线方程．【解析】（1）圆的方程化为（x-1）2+（y-2）2=8 所以圆心为（1，2），半径为∴ ∴b=5或-3 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2） ∵，∴，即x1x2+y1y2=0∵y1=x1+b，y2=x2+b， ∴x1x2+（x1+b）（x2+b）=0∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0 将y=x+b代入圆方程得：2x2+2（b-3）x+b2-4b-3=0 ∴ ∴b2-4b-3+b（3-b）+b2=0，b2-b-3=0，所以所求直线方程为

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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