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数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4. (Ⅰ...

数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列;
(Ⅲ)若a1+a2+a3+…+am≤a40,求m的最大值.
(Ⅰ)由题设知b1,b3是方程x2-5x+4=0的两根,bn+1>bn,故b1=1,b3=4.b2=2.由此可知bn=b1qn-1=2n-1. (Ⅱ)由题设知an=log2bn+3=log22n-1+3=n-1+3=n+2,an+1-an=[(n+1)+2]-[n+2]=1,故数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列. (Ⅲ)由题设知a1+a2+a3+…+am==≤a40=42,故m2+5m-84≤0,由此可知m的最大值是7. 【解析】 (Ⅰ)由,知b1,b3是方程x2-5x+4=0的两根, 注意到bn+1>bn,得b1=1,b3=4.(2分) ∴b22=b1b3=4,⇒b2=2. ∴b1=1,b2=2,b3=4 ∴等比数列.{bn}的公比为, ∴bn=b1qn-1=2n-1(4分) (Ⅱ)an=log2bn+3=log22n-1+3=n-1+3=n+2(5分) ∴an+1-an=[(n+1)+2]-[n+2]=1(7分) ∴数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.(8分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列 ∴a1+a2+a3++am==(10分) 又a40=42 由a1+a2+a3++am≤a40,得 整理得m2+5m-84≤0,解得-12≤m≤7. ∴m的最大值是7.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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