Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x 的方程f（x）=lg（x+1），在x∈[0，9]上解的个数是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

Answer

首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解
【解析】
设y1=f（x），y2=lg（x+1）
方程f（x）=lg（x+1）在x∈[0，9]上解的个数，即为函数y1=f（x），y2=lg（x+1）的图象在x∈[0，9]上交点的个数
∵f（x-1）=f（x+1）
∴f（x）=f（x+2）
∴原函数的周期T=2
又∵x∈[0，1]时，f（x）=-x+1
由以上条件，可画出y1=f（x），y2=lg（x+1）在x∈[0，9]的图象：
又因为当x=9时，y1≤1，y2=1
∴结合图象可知，在[0，9]上y1=f（x），y2=lg（x+1）的图象共有9个交点
∴在[0，9]上，原方程有9个根
故选C