Question

已知n为正整数，规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），已知，
（1）解不等式f（x）≤x；
（2）设集合A={0，1，2}，对任意x∈A，证明：f₃（x）=x．

Answer

（1）利用所给分段函数，分别解不等式，再求它们的并集；
（2）由集合A={0，1，2}，x∈A，利用函数迭代式，分别代入，即可证得．
【解析】
（1）当0≤x≤1时，由2（1-x）≤x有，故，
当1＜x≤2时，由x-1≤x求得x∈R，故1＜x≤2，
综上讨论可知：；
（2）∵f（0）=2，f（1）=0，f（2）=1，
在x=0时，f3（0）=f（f（f（0）））=f（f（2））=f（1）=0，
同理可求x=1时，f3（1）=1，x=2，f3（2）=2，
故x∈A时，恒有f3（x）=x．