Question

定义在R上的函数y=f（x），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的取值范围；
（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．

Answer

（1）利用赋值法，令m=0，n＞0，则有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）结合题中条件：“n＞0时，0＜f（n）＜1”，即可求出f （0）；
（2）根据f（m+n）=f（m）•f（n）恒成立，考虑取x=0代入，可得f（0）=1，再取x=-y，可得f（-y）=，再结合条件x＞0时，有0＜f（x）＜1，经过变形化简可得x＜0时，0＜f（x）＜1成立．
（3）这是抽象函数的单调性问题，应该用单调性定义解决．对差的符号进行判断时要注意根据其形式结合（2）的结论选择判断的方式．
【解析】
（1）令m=0，n＞0，则有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）
又由已知，n＞0时，0＜f（n）＜1，
∴f （0）=1
（2）设x＜0，则-x＞0f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1
则 ，
又∵-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）∈（1，+∞）
（3）f（x）在R上的单调递减
证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2
又x1=（x1-x2）+x2，由已知f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）
∴…（16分），
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，由（2）得f（x1-x2）＞1
∴，又由（1）、（2），，
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上的单调递减