Question

已知函数f（x）=2cos²x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）定义在上的值域．
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

Answer

（1）先对函数f（x）根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求得2x+的范围，最后根据正弦函数的性质可求得f（x）的值域．
（2）将C代入到函数f（x）中可求得C的值，进而可得到A+B的值，再结合2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）运用两角和与差的公式即可得到tanA的值．
【解析】
（1）f（x）=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1
∵∴
∴；
∴f（x）∈[0，3]．
即f（x）的值域为[0，3]
（2）由f（C）=2得2sin（2C+）+1=2，∴sin（2C+）=．
∵0＜C＜π∴
∴∴C=∴A+B=．
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）
∴2sinB=2sinAsinC
∴
即
∴
∴．