Question

数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2），求{C_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）利用已知条件得到{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出an，通过bn=an+1，利用等比数列的定义证明{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求出Cn=n（3an+2），利用错位相减法求出3×21+3×2×22+3×3×23+…+3×n×2n的和，然后求出{Cn}的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）数列{an}中，a1=1，且点（an，an+1）在直线l：2x-y+1=0上．
所以2an-an+1+1=0，即2an+2=an+1+1，
所以{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an+1=2×2n-1=2n，
an=2n-1，
bn=an+1=2n，
=2
所以{bn}是等比数列；
（Ⅱ）设Cn=n（3an+2）=3n×2n-n，
{Cn}的前n项和．，
令T=3×21+3×2×22+3×3×23+…+3×n×2n，…①，
所以2T=3×22+3×2×23+3×3×24+…+3×n×2n+1…②，
①-②得：-T=3（21+22+23+…+2n-n×2n+1），
T=3（n-1）•2n+1+6，
所以．