Question

如图，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=
2a，PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角．
（Ⅰ）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证直线与直线垂直，可先证直线与平面垂直，即PD⊥平面BAE，利用线面垂直的判定，需寻找线线垂直，故可证．
（Ⅱ）利用空间向量，构建空间直角坐标系，分别求出平面PAB与平面PCD的法向量，从而可求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，BA⊂底面ABCD
∴BA⊥PA．
∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD⊂平面PAD．
∴PD⊥BA．
又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE
∵BE⊂平面BAE
∴PD⊥BE，即BE⊥PD．
（Ⅱ）【解析】
如图建立空间直角坐标系，
∵底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC
∴CB⊥AB，
∵PA⊥底面ABCD，CB⊂底面ABCD
∴CB⊥PA，
∵PA∩AB=A
∴CB⊥平面PAB．
∴是平面PAB的法向量，且=（0，a，0）．
设平面PCD的一个法向量为，则．
而=（-a，a，0），
∴由=0．
得
∴
令y=1，∴
设向量与所成角为θ，
则cosθ=．
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．