Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=5，AA₁=3，则四棱锥B₁-A₁BCD₁的体积是（ ）
A．10
B．20
C．30
D．60

Answer

以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=5，AA1=3，知，，故平面A1BCD1的法向量为，所以点B1到平面A1BCD1的距离d==，S四边形A1BCD1=5×5=25，由此能求出四棱锥B1-A1BCD1的体积．
【解析】
以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=5，AA1=3，
∴A1（5，0，3），B（5，4，0），D1（0，0，3），B1（5，4，3），
∴，，
设平面A1BCD1的法向量为，
则，∴，
∵=（0，4，0），
∴点B1到平面A1BCD1的距离d==，
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=5，AA1=3，
∴==5，
∴S四边形A1BCD1=A1D1×A1B=5×5=25，
∴四棱锥B1-A1BCD1的体积V四棱锥B1-A1BCD1===20．
故选B．