Question

已知数列{x_n}满足下列条件：x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
（Ⅰ）当λ＞0时，证明：x_n+1＞x_n（n∈N^*）；
（Ⅱ）当|λ|＜1时，求．

Answer

（Ⅰ）由题设得xn+1-xn=λ（xn-xn-1），由x2-x1=b-a＞0，知：数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，由此能够证明xn+1＞xn（n∈N*）．
（Ⅱ）由xn+1-λxn=xn-λxn-1=…=x2-λx1=b-λa及xn+1＞xn（n∈N*），知，由|λ|＜1，知，由此能求出．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），λ为非零常数，
∴xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∵x1=a，x2=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x2-x1=b-a＞0，
∴数列{xn+1-xn}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故，
∵λ＞0，
∴xn+1-xn＞0，
即xn+1＞xn（n∈N*）．
（Ⅱ）∵x1=a，x2=b，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0（n∈N*且n≥2），
其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
∴xn+1-λxn=xn-λxn-1=…=x2-λx1=b-λa，
即xn+1-λxn=b-λa，
∴λxn=xn+1-（b-λa），①
∵xn+1＞xn（n∈N*），，
∴，②
②-①，得（1-λ）xn=b-λa-（b-a）•λn-1，
∴，
∵|λ|＜1，
∴，
∴==．