Question

函数f（x）=x²-2x，x∈[-1，m]图象上的最高点为A，最低点为B，A、B两点之间的距离是，则实数m的取值范围是     ．

Answer

先将函数配方得f（x）=x2-2x=（x-1）2-1，得到其对称轴，明确其单调性，分三种情况分析，①当m≤1时，函数在区间上是减函数，最高点为（-1，3），最低点为（m，m2-2m），顶点为（1，-1），先研究最高点与顶点间的距离②当m＞3时，最高点为（m，m2-2m），最低点为顶点（1，-1），一个动点与定点间的距离不定，③当1≤m≤3时最高点为（-1，3），最低点为顶点（1，-1）满足条件．
【解析】
∵函数f（x）=x2-2x=（x-1）2-1
①当m≤1时，函数在区间上是减函数
∴最高点为（-1，3），最低点为（m，m2-2m），顶点为（1，-1）
而最高点与顶点间的距离为
该情况不成立
②当m＞3时，最高点为（m，m2-2m），最低点为顶点（1，-1）
此时，最高点与最低点间距离不确定
故该情况不成立
③当1≤m≤3时
最高点为（-1，3），最低点为顶点（1，-1）
故满足条件
综上：实数m的取值范围是1≤m≤3
故答案为：1≤m≤3