Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有 ．
（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）解不等式：；
（3）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）任取-1≤x1＜x2≤1，则f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=＞0，由此能够证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）由f（x）是奇函数和（1）的结论知f（x）在上[-1，1]是减函数，所以，由此能求出不等式的解集．
（3）由f（x）在[-1，1]上是减函数，知要使f（x）≤t2-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，所以，由此能求出实数t的取值范围．
证明：（1）任取-1≤x1＜x2≤1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=
∵-1≤x1＜x2≤1，∴x1+（-x2）≠0，
由已知 ＜0，又x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在[-1，1]上为减函数；
【解析】
（2）∵f（x）在[-1，1]上为减函数，
故有，
解得，或，
∴
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是减函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．
所以要使f（x）≤t2-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立．
∴，
解得：t≤-2或t≥2或t=0．