Question

设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和．
（1）证明；
（2）是否存在常数c＞0，使得成立？并证明你的结论．

Answer

（1）设{an}的公比为q，当q=1时根据Sn•Sn+2-Sn+12求得结果小于0，不符合；当q≠1时利用等比数列求和公式求得Sn•Sn+2-Sn+12＜0，进而推断Sn•Sn+2，＜Sn+12．根据对数函数的单调性求得lg（Sn•Sn+2）＜lgSn+12，原式得证．
（2）要使．成立，则有进而分两种情况讨论当q=1时根据（Sn-c）（Sn+2-c）=（Sn+1-c）2求得-a12＜0不符合题意；当q≠1时求得（Sn-c）（Sn+2-c）-（Sn+1-c）2=-a1qn[a1-c（1-q）]，进而推知a1-c（1-q）=0，判断出0＜q＜1，但此时不符合题意，最后综合可得结论．
（1）证明：设{an}的公比为q，由题设a1＞0，q＞0．
（i）当q=1时，Sn=na1，从而
Sn•Sn+2-Sn+12
=na1•（n+2）a1-（n+1）2a12
=-a12＜0
（ⅱ）当q≠1时，，从而
Sn•Sn+2-Sn+12=
=-a12qn＜0．
由（i）和（ii）得Sn•Sn+2，＜Sn+12．根据对数函数的单调性，知
lg（Sn•Sn+2）＜lgSn+12，
即．
（2）【解析】
不存在．
要使．成立，则有

分两种情况讨论：
（i）当q=1时，
（Sn-c）（Sn+2-c）=（Sn+1-c）2
=（na1-c）[（n+2）a1-c]-[（n+1）a1-c]2
=-a12＜0．
可知，不满足条件①，即不存在常数c＞0，使结论成立．
（ii）当q≠1时，若条件①成立，因为
（Sn-c）（Sn+2-c）-（Sn+1-c）2
=
=-a1qn[a1-c（1-q）]，
且a1qn≠0，故只能有a1-c（1-q）=0，即
此时，因为c＞0，a1＞0，所以0＜q＜1．
但0＜q＜1时，，不满足条件②，即不存在常数c＞0，使结论成立．
综合（i）、（ii），同时满足条件①、②的常数c＞0不存在，即不存在常数c＞0，使．